حلول جميلة للغز رياضي صغير

كم يبلغ عدد المثلثات الموجودة في الصورة؟

رسم للغز رياضي بسيط لإيجاد عدد المثلثات الناتجة عن تقاطع 6 خطوط

سنتحدث عن مسألة رياضيات مثيرة للاهتمام أعدها بو شين لوه من جامعة كارنيجي ميلون الأميركية.
لغز رياضي
لا تعتمد هذه الأحجية أو اللغز على رموز غامضة. وفي الحقيقة، فإن اللغز الرياضي هذا لا يحتوي على رموز أبداً، بل يتألف من رسم بياني ومن سؤال: ما هو عدد المثلثات التي يمكن رسمها من الخطوط الستة المتقاطعة هذه؟
والأكيد عند النظر إلى هذا الرسم هو عدم وجود خطين متوازيين وعدم وجود نقاط يتقاطع فيها أكثر من خطين. والواضح أنّ التحدي هنا يكمن في إيجاد طريقة تتيح لنا احتساب الجواب، ولكن ليس عبر التعداد الدقيق لعدد المثلثات.
وأقدم هنا تلميحاً مهماً من الباحث لوه، وهو: «يتألف المثلث من ثلاثة خطوط، أي أضلاع. لذا، في حال كنا نملك ستة خطوط، يصبح السؤال: كيف يمكنني انتقاء ثلاثة من هذه الخطوط الستة الموجودة؟».
على «تويتر» وفي تعليقات المشاركين على موقع «نيويورك تايمز»، يتضح أنّ بعض القراء نجحوا سريعاً في معرفة كيفية حل المسألة لأنّهم استخدموا مبدأ التوافقيات combinatorics، وهو فرع من مادة الرياضيات يوضح عدد الطرق التي يمكن من خلالها مزج الأشياء. في المقابل، حاول قراءٌ آخرون استخدام وسيلة التعداد ولكن دون جدوى، حيث قال لوه إنّه «لا يعتقد أنّه صادف شخصاً واحداً نجح في العد».
حل المسألة
لحل المسألة، أبدأوا بالملاحظة والتدقيق: 3 خطوط في الرسم البياني ترسم مثلثاً واحداً، وواحدا فقط. ويترتب على ذلك أن إجمالي عدد المثلثات سيكون مساوياً لعدد مجموعات الخطوط الثلاثة التي يمكن اختيارها من الخطوط الستة في الرسم.
كيف تحتسبون هذه المسألة؟ اختاروا خطاً، أي خط. يحتوي الرسم على ستة خطوط، ما يعني أنكم تملكون ستة خيارات. بعدها، اختاروا خطأ آخر ليكون الجهة الثانية من المثلث. في البداية، قد تعتقدون أنّه هناك ستة خيارات من جديد، ولكنّ اختياركم لخط الجهة الأولى يعني أنّ الخيارات المتبقية هي خمسة. والأمر نفسه ينطبق على الجهة الثالثة من المثلث، فيبقى لكم أربعة خطوط لتختاروا منها.
وهكذا، يكون إجمالي عدد الطرق التي تتيح لكم اختيار جوانب المثلثات يساوي 6×5×4، أو 120. الأكيد أنّ الرسم البياني لا يحتوي على 120 مثلثاً، وهذا الرقم ناتج عن فكرة أنّ هذه المجموعات يتم عدها أكثر من مرة واحدة.
لمزيد من الوضوح، رقّموا الخطوط من 1 إلى 6، وانظروا إلى المثلث المحدد بين الخطوط 1، 2، 3. هذا المثلث هو نفسه سواء اخترتم الخط 1، ثم الخط 2، ثم الخط 3، أو الخط 1، ثم الخط 3، ثم الخط 2.
في الواقع، إنّ عدد الطرق المتوفرة لتحديد المثلثات يوازي عدد الطرق المتوفّرة لاختيار الخطوط 1، 2، 3. امزجوا الأرقام بكل التركيبات الممكنة: 123، 132، 213، 231، 312، 321، ولذا توجد 6 احتمالات. وبالطريقة نفسها، يمكنكم تحديد أي مثلث في الرسم البياني بـ6 طرق ممكنة.
والآن، قسّموا التكرار ليتبين أنّ إجمالي عدد المثلثات المرسومة بواسطة هذه الخطوط الستة هو (4×5×6)/6 أو 20. هذا هو الجواب.
وهنا تصبح الرياضيات مادة فعّالة. هذه العملية نفسها تُطبّق على أي عدد من الخطوط. ما هو عدد المثلثات التي يمكن تكوينها من سبعة خطوط غير متوازية؟ هو (5×6×7)-6 أو 35. وماذا عن 23 خطاً؟ (21×22×23)-6، أو 1771. وماذا عن 2300 خط؟ الجواب هو (2298×2299× 2300)/ 6، أو عدد كبير جداً هو 2.025.189.100.
هذه العملية الحسابية نفسها تُطبّق مهما اختلف عدد الخطوط التي تملكونها. قارنوا هذه المقاربة بالعد الشامل، الذي لا يعتبر مرهقا ومفتوحا على الخطأ فحسب، بل يفتقر أيضاً إلى إمكانية التحقّق من صحّة الجواب. تلعب الرياضيات دور الحل والمنطق في هذه المسألة. كما أنّها تكشف أنّ المسائل الأخرى بجوهرها متطابقة. ضعوا 6 كرات بألوان مختلفة في كيس كبير. اسحبوا ثلاثة منها: ما هو العدد المحتمل لمجموعات الألوان المتبقّية في الكيس؟ 20 طبعاً. هذه هي التوافقيات، وهي شديدة الفعالية في حل هذا النوع من المسائل.

جمال الرياضيات في اختزال الحساب
> تأتي هذه الطريقة مع نظريتها الخاصة لاختزال عملية الحساب، وتحتوي على الكثير من علامات التعجب. العبارة n! – تسمى بالإنجليزية «n factorial,» (مضروب n)، وعندما تقال بصوت مرتفع «أن فاكتوريال» فإنها، تصف نتاج ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 وحتى n (أو بالضبط هي نتيجة ضرب بكل الأرقام من n وبتلك التي تحتn وهي n - 1، n - 2، n - 3، وهكذا إلى الأخير).
وهذا يعني أن 1! يساوي 1؛ 2! يساوي 1×2 أو 2؛ أما 3! فيساوي 1×2×3، أو 6، وهكذا.
وفي المسألة التي أعدها لوه، يمكن كتابة العملية الحسابية لعدد المثلثات كالتالي: (!3!3)-!6. أي 6x5x4x3x2x1-(3x2x1 X3x2x1)= 720-36=20.
كما يمكن كتابتها مرة أخرى على شكل (3.6)C التي تُقرأ على الشكل التالي: «6 اختر 3». تفصيلاً، هي عبارة عن شرح رياضي لعدد الطرق لاختيار 3 من 6، وتُقرأ بهذه الصيغة: C(n، r) = n!-((n–r)!r!). هذه هي المعادلة التي يحفظها الطالب، أي الاختصار الفعّال.
بمعنى آخر، إذا نسيتم الصيغة، يمكنكم تركيبها من جديد عبر تذكّر ما تريدون حله. وهنا يكمن جمال الرياضيات، أو جمال جزء منها. فالمعادلة الجيدة هي أكثر من مجرد تلاوة للقواعد؛ بل هي تعبّر عن وجود هذه القواعد، وتكشف أنماط ونقاط المسائل الجديدة التي تتطلب حلاً.
خدمة «نيويورك تايمز»